Головною ланкою в ланцюзі космічних дисциплін є. У цій доповіді розглядається одна з її складових частин - теорія вільного польоту в полях тяжіння.
Найважливішою з природних сил, що діють на космічний апарат, є сила всесвітнього тяжіння. Сили тяжіння (або сили тяжіння) підпорядковуються ньютонівському закону всесвітнього тяжіння. Цей закон говорить: всякі дві матеріальні точки притягуються одне до одного з силами, прямо пропорційними квадрату відстані між ними, або, в математичній формі:
f * m1 * m2 (1)
F = `` r ^ 2 `` ``
Тут F-величина обох сил тяжіння, m1, m2 - маси притягуються матеріальних точок, r-відстань між ними, f-коефіцієнт пропорційності, званої постійної тяжіння (гравітаційна постійна). Якщо вимірювати масу в кілограмах, силу ньютонах, а відстань в метрах, то, як показують точні вимірювання, постійна тяжіння дорівнює 6,672 * 10 ^ (-11) м ^ 3 / (кг * с ^ 2)
На різних етапах космічного польоту різне значення може мати вплив середовища, в якій відбувається рух. Сили, що діють з боку атмосфери на космічний апарат, називаються аеродинамічними. У міжпланетному просторі важливу роль може грати тиск сонячного випромінювання, яке абсолютно непомітно в повсякденному жізні.Еслі маса космічного апарату невелика, а поверхня, на яку тиснуть сонячні промені, значна, то дією цього чинника можна знехтувати.
Завдання N тіл і метод чисельного інтегрування
Пасивне рух космічного апарату у світовому пр-ве проиходит в основному під дією сил притягання небесних тіл - Землі, Місяця, Сонця, планет. Положення цих тіл безперервно змінюється, причому їх рух, як і рух космічного апарату, відбувається під дейсвія сил всесвітнього тяжіння. Таким чином, ми стикаємося з необхідністю вирішення задачі про рух великого числа небесних тіл (в тому числі штучного небесного тіла - космічного апарату) під дейсвія сил взаємного прітяженія.Такая завдання носить назву «завдання N тіл».
Вирішення цієї задачі в загальному випадку зустрічає величезні труднощі, навіть завдання трьох тіл вирішена лише для кількох окремих випадків. Але в космодінаміке завдання N тіл має особливий характер. Космічний апарат не має практично ніякого впливу на рух небесних тел.Такой випадок відомий в небесній механіці як конкретне завдання N тел. При її вирішенні рух Сонця, Землі, Місяця і планет є заданим, так як воно чудово вивчений астрономами і передвіщається ними на багато років вперед.
Відстані від космічного апарату до Сонця, Землі, Луи і планети будь-який момент відомі, маси всіх цих тіл також відомі, а значить, відомі за величиною і напрямком і прискорення, що повідомляються небесними тілами космічні апарату. У самому справі, якщо маса небесного тіла M, а маса космічного апарату m, то гравітаційне прискорення a, сообщаемое апарату,
одно силі тяжіння
f * M (2)
`` R ^ 2 `
Таким чином, гравітаційне прискорення залежить тільки від відстані між притягуються тілами і від маси притягає тіла, але не залежить від маси притягиваемого тіла.
Отже за формулою (2) ми можемвичісліть гравітаційне прискорення, сообщаемое космічному апарату кожним небесним тілом окремо, а отже, можемо обчислити і сумарне прискорення. Знаючи величину і напрям початкової швидкості космічного апарату, можна, зважаючи на обчислене прискорення розрахувати положення і швидкість апарату через невеликий проміжок часу, наприклад через секунду. Для нового моменту потрібно буде заново обчислити прискорення і потім розрахувати наступне положення апарата і його швидкість і т.д. Таким шляхом можна простежити весь рух космічного апарату. Єдина неточність цього методу полягає в тому що доводиться протягом кожного невеликого проміжку часу (кроку розрахунку) вважати прискорення при обчисленнях незмінним, у той час як воно змінно. Але точність розрахунку можна як завгодно підвищити, зменшивши крок.
Описана процедура називається чисельним інтегруванням.
Невагомість
При невагомості тяжіння Землі (або іншого небесного тіла) не будуть втручатися в переміщення предметів щодо корабля. Відсутні будь-які зовнішні поверхневі сили, що діють на корабль.Налічіе ж зовнішніх поверхневих сил (сила сопр. Середовища, сили реакції опори або підвісу) - обов'язкова умова сущ. стану вагомості.
Отже, тіло, вільно і поступально рушійною. під впливом одних сил тяжіння, завжди нах. в стані невесомості.Прімери: корабель у світовому пр-ве, падаючий ліфт, людина здійснює стрибок.
Тепер, коли ми з'ясували природу невагомості, доречно буде внести недо. поправки. Ми завжди мали на увазі, що гравітаційне прискорення отд. деталей майже (але не в точності) однаково, тому що відстань від. деталей від притягає тіла (напр. Землі) приблизно однакові. Фактично всі ці неточності незначні. Перепад гравітаційних прискорень (градієнт гравітації) в області простору, зайнятої косм. кораблем, мізерний. Наприклад на висоті 230 км над пов. Землі, земне гравію. прискорення зменшується на 2,77 * 10 ^ (-6) м / c ^ 2 на кожен метр висоти. Коли космічні корабель завдовжки 5 м располаг. вздовж лінії, напр. на центр Землі його нижній кінець отримує прискорення на 0,00015% більше, ніж верхній.
Таким чином, порушення невагомості, викликані наявністю градінта гравітації (тобто по суті неоднорідністю поля тяжіння), призводять не до «часткової невагомості», а до зовсім осбому стану. У стані вільного польоту в полі тяжіння тіла кілька (вельми і вельми слабо) розтягнуті в радіальному напрямку.
Центральне поле тяжіння
Коли космічний апарат перебувати у світовому пространсіве далеко від планет, досить враховувати тяжіння одного лише Сонця, тому що гравітаціооние прискорення, що повідомляються планетами (внаслідок великих відстаней і щодо малості їх мас), мізерно малі в порівнянні з прискоренням, про які повідомляється Сонцем.
Припустимо тепер, що ми вивчаємо рух космічного об'єкта поблизу Землі. Прискорення, що повідомляється цього об'єкту Сонцем, досить помітно: воно приблизно дорівнює прискоренню, сообщаемому Сонцем Землі (близько 0,6 см / с ^ 2); природно було б його враховувати, якщо нас цікавить рух обькта оносітельно Сонця. Але якщо нас цікавить рух космічного об'єкта відносно Землі, то тяжіння Сонця оказивется срвнітельно салосущественним. Воно не буде втручатися в цей рух аналогічно тому, як тяжіння Землі не втручається в відносний рух предметів на борту корабля-супутника. Те ж стосується і тяжіння Місяця, не кажучи про тяжіння планети.
Будемо вважати небесне тіло однорідним матеріальним кулею, що складається з з вкладених одна в одну однорідних сферичних шарів. Отже, небесне тіло притягує так, ніби то його маса зосереджена в його центрі. Таке поле тяжіння зв. центральним. Будемо вивчати рух у центральному полі тяжіння космічного апарату, що отримав в початковий момент, коли він знаходився на відстані r ° від небесного тіла швидкість v °. Для подальшого скористаємося законом збереження хутро. енергії, який справедливий для розглянутого випадку, так як поле тяжіння є потенційним, наявністю ж негравітаціонних сил ми прнебрегаем. Кінетична енергія космічного аппарта дорівнює (mV ^ 2) / 2, де m - маса апарату, а v - його швидкість. Потенційна енергія в центральному полі тяжіння виражається формулою
f * M * m
П =- ¾¾¾¾¾,
r
де М-маса притягає небесного тіла, а r - відстань від нього до космічного апарату, потенцальная енергія, будучи негативною, збільшується з видаленням від Землі, звертаючись в нуль на нескінченності. Тоді закон збереження повної механічної енергії запишеться в наступному вигляді:
Тут у лівій частині рівності стоїть сума кінетичної і потоенціальной енергій в початковий момент, а в правій - в будь-який інший момент. Скоротивши на m і перетворивши, ми напишемо інтеграл енергії - важливу формулу, яка має швидкість v космічного апарата на будь-якій відстані r від центру тяжіння :
або
де K = f * M - величина, що характеризує поле тяжіння конкретного небесного тіла (гравітаційний параметр). Для Землі K = 3,986005 * 10 ^ 5 км ^ 3 / c ^ 2 для Сонця K = 1,32712438 * 10 ^ 11 км ^ 3 / c ^ 2.
Траєкторії в цетральної поле тяжіння
Шлях, описуваний космічним апаратом у просторі зв. траєкторією.
1. Прямолінійні траєкторії. Якщо гачальная швидкість дорівнює нулю, то тіло починає падіння до центу по прямій лінії. Рух по прямій лінії бде і в тому випадку, якщо початкова швидкість спрямована точно до центру (по радіусу)
2. Еліптичні траєкторії.
Якщо початкова швидкість на-
направлена НЕ радіаьно, то тра-
екторія ужн не може бути
прямолінійною, оскільки позов-
рівляется тяжінням Землі.
При цьому вона лежить цілком
у площині, проведеної через
початковий напрям ско-
зростати і центр Землі. Якщо початкова швидкість не првишает деякої величини, то траєкторія уявляє собою еліпс, причому центр тяжіння знаходиться в одному з його фокусів. Якщо еліптична орбіта не перетинає поверхні притягає небесного тіла, космічний апарат є його штучним спутніком.Расстояніе між вершинами еліпса називається великою віссю. Половина великої осі приймається за середню відстань супутника від небесного тіла і позначається літерою a. Швидкість v і відстань r супутника від центру тяжіння в будь-який момент часу (зокрема, в початковий) пов'язані із середньою відстанню а залежністю.
(4)
Період обертання P штучного супутника обчислюється за формулою
(5)
або
(5a)
де - певне число для кожного небесного тіла.
Відношення відстані між фокусами до довжини великої осі називається ексцентоісітетом еліпса.
З формули (4) видно, що чим більше початкова швидкість, тим більше велика вісь орбіти і тим більше, у відповідності з формулою (5), період обертання.
Найближча і найбільш віддалена від центру тяжіння точки еліпса називаються відповідно періцентром і Перицентр, а пряма лінія, їх з'єднує, лінією апсид.
Для конкретних притягують центрів ці точки носять спеціальні назви. Так, якщо притягає тілом є Земля, то періцентр і і Перицентр зв. відповідно перигеєм та апогеєм; якщо Сонце - перигелієм і афелієм; якщо Місяць-періселеніем і апоселеніем. Швидкість в перигеї (Vп) максимальна, а апогеї (v а) - мінімальна, причому ці дві швидкості пов'язані співвідношенням
vпrп = vаrа,
де rп Rа - відстані в перигеї і апогеї. Швидкості в перигеї і апогеї перпендикулярні до напрямів на центр Землі. Для всіх інших точок еліпса правильне співвідношення
(7)
або
(7а)
Тут в лівих частинах стоять твори відстаней r на трансверальние складові швидкості vcosa, тобто на проекції швидкості на перпендикуляр до радіального напрямку.
Якщо помножити ліві і праві частини рівності (6), (7) або (7а) на масу m космічного апарату, то легко переконатися, що ці рівності виражають закон збереження моменту кількості руху (творів кількості руху mv на величину перпендикуляра, опущеного з точки на лінію, що вказує напрям швидкості). Розглянемо важливі випадки, коли початкові швидкості трансверсально.
При цьому, очевидно, початкова т-ка N0 повинна бути перигеєм або апогеєм. Перше буде в тому випадку, коли початкова швидкість досить велика, щоб супутник почав віддалятися на шляху до апогею (1 орбіта). Друге буде в тому випадку, коли швидкість менше тієї ж величини (орбіта 2), при цьому можливе падіння на Землю (якщо периною виявиться під земною поверхнею або нижче щільних шарів атмосфери). «Прикордонним» є випадок, коли початкова швидкість така, що супутник не піднімається і не опускається, тобто описує кругову орбіту 3 з постійною круговою швидкістю. Радіус кругової орбіти r дорівнює великої півосі а. З формули (4)
З останньої формули, знаючи K для Землі, легко знайти кругову швидкість для будь-якої відстані r від її центру або для будь-якої висоти h над земною поверхнею (h = rr °, де r ° = 6371 км - середній радіус Землі)
Зокрема біля поверхні Землі кругова швидкість дорівнює 7,910 км / c - першої косіческой швидкості.
Якщо записати формулу (4) для початкового моменту, а саме:
(9)
то неважко помітити, що із збільшенням початкової швидкості v0 велика піввісь увелівает. З формули видно, що в міру того, як v0 ^ 2 наближається до постійної величини 2K/r0, велика піввісь а прагне до нескінченності.
3.Параболіческіе траєкторії. Еліптична орбіта, у якої «апогей знаходиться в нескінченності», не є вже еліпсом. Рухаючись по такій траєкторії, космічний апарат нескінченно далеко йде від центру тяжіння, описуючи разомкнутую лінію - параболу. У міру віддалення апарату його швидкість наближається до нулю.Піняв у формулі (3) швидкість у нескінченності рівною нулю (r = ¥, v = 0), ми знайдемо таку величину початкової швидкості v0, яка забезпечує можливість розглянутого руху.
Отримаємо
або
(10)
Обчислена за формулою (10) величина називається параболічної швидкістю. Отримавши таку швидкість, космічний апарат рухається по параболі і вже не повертається до центру тяжіння. Коли швидкість (10) повідомляється у вертикальному напрямку, траєкторією є пряма лінія, але і в цьому випадку швидкість називають параболічної. Між швидкістю звільнення та кругової швидкістю в будь-якій точці існує проста залежність
(11)
Значення швидкості звільнення у поверхні Землі носить назву другої космічної швидкості і становить 11,186 км / c. На висоті h = 200 км швидкість звільнення сост. 11,015 км / c.
Скориставшись формулою (10), ми можемо тепер записати основну формулу (3) для швидкості в центральному полі тяжіння так:
4.Гіперболіческіе траекторіі.Еслі космічний апарат одержить швидкість v0, що перевищує параболічну, то він також «досягне нескінченності», але при цьому буде рухатися вже по лінії іншого роду - гіперболе.Прі цьому швидкість апппарата у нескінченності (v ¥) вже не буде дорівнює нулю. Фізично це означає, що в міру віддалення апарату його швидкість буде безперервно падати, але не зможе стати менше величини v ¥, яку можна знайти, прийнявши у формулі (12) r = ¥. Отримаємо
Величину v ¥ називют по-різному: залишкова швидкість, гіперболічний надлишок швидкості і т.д.
Гіперболічна траєкторія далеко від центру тяжіння стає майже неотличимой від двох прямих ліній, званих асимптотами гіперболи. На великій відстані від центру тяжіння гтперболіческую траєкторію приблизно можна вважати прямолінейной.Для гіперболічних і параболічних орбіт справдліви як і для елліптічекіх орбіт, формули (7) і (7а ).
На закінчення зазначимо, що пасивний рух в центральному полі тяжіння часто називають кеплеровском рухом, а елліптічекіе, параболічні і гіперболічекіе траєкторії об'єднуються загальною назвою кеплеровском орбіт.Всегда важливо пам'ятати, що будь-яка кеплерові орбіта розташована в площині, що проходить через центр прітяженія.Положеніе цієї площини в просторі не змінюється.